概统4-5章笔记习题整理 | Moonglade

4.1 随机变量序列的两种收敛性

习题对应知识点：

1. 依概率收敛的四则运算，集合包含对应的概率大小关系

2. 

   分布函数需满足右连续性

4.3 大数定律

习题对应知识点：

1. 马尔可夫大数定律，方差求和

2. 

   对于$X_n$仅与相邻的$X_{n-1},X_{n+1}$相关，与其他的不相关，可以通过计算相邻项的协方差来计算总体方差。然后用马尔可夫大数定律证明分布服从大数定律。

   $Cov(X,Y)\leqslant \sqrt{Var(X)Var(Y)}$

4.4 中心极限定理

习题对应知识点：

1. 二项分布的正态近似，近似修正（前后增加0.5）

2. 

   ​ 第一问给定$n,\gamma$求$\beta$

   ​ 第二问给定$\gamma,\beta$求$n$

   ​ $Y_n=\frac{S_n-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}$，对于二项分布情形$Y_n=\frac{S_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}$，这玩意可以用正态分布近似

   1. 

      给定$\beta,\gamma$求$n$，不说了

   2. $\overline X=\frac{1}{100}\sum\limits_{i=1}^{100}X_i$

      $E(\overline X)=E(X), Var(\overline X)=\frac{1}{n}Var(X)$

   3. 泊松分布 $E=Var=\lambda$

   

   1. 二项分布正态近似要加近似修正！

5.1 总体与样本

不是重点，先过

5.2 样本数据的整理与显示

经验分布是总体分布的良好近似，别的先过

5.3 统计量及其分布

习题对应知识点：

1. 过

2. $\sum\limits_{i=1}^n\overline x y_i=\sum\limits_{i=1}^nx_i\overline y=n\overline x\overline y=\sum\limits_{i=1}^n\overline x\overline y$

3. 

   正态分布$\overline x\sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$

   正态分布可加性

4. 

   n较大时，记渐近分布$N(\mu,\sigma^2/n)$，指数分布期望$\frac{1}{\lambda}$，方差$\frac{1}{\lambda^2}$

5. 

   分布函数服从$U(0,1)$均匀分布

   1. 

      $m_p\sim(x_m, \frac{p(1-p)}{np^2(x_p)})$

5.4 三大抽样分布

习题对应知识点：

1. 若x服从$N(\mu,\sigma^2)$，则$\overline x\sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$

2. 

   若$x\sim N(\mu,1)$则$\overline x\sim N(\mu,\frac{1}{n})$

3. 

1. 

5.5 充分统计量

习题知识点：

1. 

2. 判断T是否为充分统计量的方法：计算$P(X_1=x_1,\cdots,X_n=x_n|T=t)$时，结果与$\theta$（分布参数）是否相关，计算时通常要把最后一项$X_n$用t代换

3. 求分布的充分统计量——写成$f(x_1,x_2,\cdots,x_n;\theta_1,\theta_2)=g(t;\theta_1,\theta_2)h(x_1,\cdots,x_n)$的形式，然后$g$中t的表达式即为充分统计量